[block id=”bo-sung-1″]

Cùng với bài toán cho phương trình sóng và phương trình thế vị, các bài
toán nhiệt là một trong những bài toán cổ điển có nhiều ứng dụng trong khoa
học kỹ thuật. Bài toán liên quan tới vấn đề truyền nhiệt đã được khảo sát từ thời
Fourier trong thế kỷ 19. Trong cơ sở dữ liệu của AMS hiện nay, số lượng bài báo
có từ khóa “heat equation” lên tới trên năm ngàn bài. Trong số đó, khá nhiều
bài toán nhiệt ngược được khảo sát (xem [16, 1, 50, 51] và các tài liệu tham
khảo trong đó). Theo sự tổng kết của O. M. Alifanov (xem [1], trang 13), có bốn
loại bài toán nhiệt ngược
1. Bài toán nhiệt ngược thời gian (retrospective heat conduction problem
hay backward problem): xác định nhiệt độ của thời điểm ban đầu từ phân bố
nhiệt độ tại thời điểm cuối,
2. Bài toán biên ngược (boundary inverse problem): xác định sự phân bố
nhiệt độ hay thông lượng nhiệt trên biên của vật dẫn nhiệt

luan van bai toan nguoc trong ly thuyet nhiet moi nhat
pdf197 trang | Chia sẻ: duongneo | Ngày: 28/07/2017 | Lượt xem: 1739 | Lượt tải: 0download

Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Luận văn Bài toán ngược trong lý thuyết nhiệt, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
PHẠM HOÀNG QUÂN
BÀI TOÁN NGƯỢC
TRONG LÝ THUYẾT NHIỆT
Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số : 62 46 01 01
LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học :
GS. TS. ĐẶNG ĐÌNH ÁNG
TS. NGUYỄN CAM
Thành Phố Hồ Chí Minh
–2005–
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu và
các kết quả nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong
bất kỳ một công trình nào khác.
Tác giả luận án.
LỜI CẢM ƠN
Trước tiên, tác giả xin tri ân vô hạn Thầy, GS.TS. Đặng Đình Áng, Giáo Sư
hướng dẫn, người Thầy khả kính đã tận tình chỉ bảo, dạy dỗ, dẫn dắt tác giả từng
bước trên con đường học tập và khảo cứu. Luôn theo gương Thầy, tác giả đã,
đang và sẽ mãi mãi học tập.
Tôi xin vô cùng biết ơn Thầy hướng dẫn phụ, TS. Nguyễn Cam, đã tận tình
chỉ bảo và cho ý kiến trong quá trình thực hiện luận án.
Tôi xin vô cùng biết ơn hai Thầy, PGS.TS. Đinh Ngọc Thanh và PGS.TS.
Đặng Đức Trọng đã tận tình hết lòng dìu dắt và chỉ dạy cho tôi trong suốt thời
gian làm luận án.
Tôi xin vô cùng biết ơn Thầy, PGS.TS. Lê Hoàn Hóa, đã tận tình chỉ dạy
cho tôi trong suốt thời gian học Đại học và Cao học.
Tôi xin vô cùng biết ơn Thầy, GS. TS. Alain Pham Ngoc Dinh đã chỉ bảo
những kết quả tính số vô cùng quý báu đối với tôi.
Tôi xin chân thành cảm ơn các Thầy giới thiệu luận án đã đọc và cho nhiều
ý kiến sâu sắc.
Tôi xin chân thành cảm ơn những ý kiến đóng góp của các chuyên gia,
người nhận xét. Những ý kiến này đã giúp chúng tôi cải thiện luận án tốt hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, Khoa Toán, Phòng Khoa Học
Công nghệ và Sau Đại Học của trường Đại học Sư Phạm và Đại học Khoa Học
Tự Nhiên, đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình thực hiện
đề tài nghiên cứu.
Trân trọng cảm ơn quý Thầy Cô và các bạn đồng nghiệp đã động viên,
giúp đỡ tôi rất nhiều.
Trân trọng biết ơn quý Thầy Cô đã từng dạy dỗ và chỉ bảo cho tôi, xin tri
ân gia đình của tôi.
Phạm Hoàng Quân
Lời nói đầu 1
LỜI NÓI ĐẦU
Cùng với bài toán cho phương trình sóng và phương trình thế vị, các bài
toán nhiệt là một trong những bài toán cổ điển có nhiều ứng dụng trong khoa
học kỹ thuật. Bài toán liên quan tới vấn đề truyền nhiệt đã được khảo sát từ thời
Fourier trong thế kỷ 19. Trong cơ sở dữ liệu của AMS hiện nay, số lượng bài báo
có từ khóa “heat equation” lên tới trên năm ngàn bài. Trong số đó, khá nhiều
bài toán nhiệt ngược được khảo sát (xem [16, 1, 50, 51] và các tài liệu tham
khảo trong đó). Theo sự tổng kết của O. M. Alifanov (xem [1], trang 13), có bốn
loại bài toán nhiệt ngược
1. Bài toán nhiệt ngược thời gian (retrospective heat conduction problem
hay backward problem): xác định nhiệt độ của thời điểm ban đầu từ phân bố
nhiệt độ tại thời điểm cuối,
2. Bài toán biên ngược (boundary inverse problem): xác định sự phân bố
nhiệt độ hay thông lượng nhiệt trên biên của vật dẫn nhiệt,
3. Bài toán xác định hệ số (coefficient inverse problem): xác định các hệ số
như hệ số dẫn nhiệt, nguồn nhiệt ,
4. Bài toán hình học: xác định các đặc trưng hình học như hình dạng các lỗ
hổng hay các vết nứt trong vật dẫn nhiệt,
Luận án này chỉ tập trung khảo sát một số vấn đề trong các bài toán 1, 2, 3.
Các bài toán nhiệt ngược còn được chia ra thành hai loại: chỉnh (well-posed) và
không chỉnh (ill-posed). Theo Hadamard, bài toán tìm x thỏa Ax =y gọi là chỉnh
nếu
a. nghiệm, nếu có, là duy nhất,
b. nghiệm tồn tại,
c. nghiệm có tính ổn định.
Lời nói đầu 2
Tương ứng với ba tính chất trên, ta có thể khảo sát ba loại bài toán về tính
duy nhất (uniqueness), tính tồn tại (solvability) và tính ổn định (stability). Các
bài toán không thỏa một trong ba điều a, b, c gọi là bài toán không chỉnh (theo
nghĩa Hadamard). Đối với các bài toán có nghiệm không ổn định, người ta cần
xây dựng các nghiệm xấp xỉ ổn định nghiệm cần tìm. Bài toán này gọi là
d. bài toán chỉnh hóa (regularization).
Tính chỉnh hay không chỉnh phụ thuộc vào nhiều điều kiện. Ví dụ có nhiều
bài toán là không chỉnh khi dữ liệu cho được xét trên các không gian thông dụng
nhưng lại chỉnh nếu dữ liệu xét trên không gian thu hẹp hơn. Điều này được
minh họa, chẳng hạn, như một dấu hiệu phổ quát để nhận diện phương pháp
mollification. Trong [41], tác giả đã viết như sau: “The idea of our method is as
follows: if pL (R)ϕ∈ is given inexactly by pL (R)εϕ ∈ then we mollify εϕ by
convolution with the Dirichlet kernel and the de la Vallé Poussin kernel… The
mollified data belong to the spaces of entire functions of exponent type in
which our (mollified) problem is well-posed” . Tính chỉnh của bài toán còn có thể
phụ thuộc vào tính chất của các hệ số trong bài toán. Chẳng hạn trong bài toán
xác định nguồn nhiệt (xem [51] trang 222) dạng (x, t)f (x)ϕ , Isakov đã phát biểu
một kết quả đánh giá ổn định cho trường hợp (x, t)ϕ thỏa
(9.1.1) t0 ,0≤ ϕ ≤ ∂ ϕ
và viết: “ Without the conditions (9.1.1), nonuniqueness is possible”, nghĩa là
bài toán có thể không chỉnh. Chúng tôi sẽ nói thêm về vấn đề này sau.
Như vậy, phối hợp các loại bài toán a, b, c, d và 1, 2, 3, 4, chúng ta có thể
có đến 16 loại bài toán nhiệt ngược mà sự khác nhau có thể rất xa. Vì lý do này,
khi so sánh kết quả của các công trình, chúng ta phải xem xét xem các bài toán
Lời nói đầu 3
đặt ra trong đó là loại nào trong các loại 1, 2, 3, 4 và vấn đề xét tới là a, b, c hay
d, chưa kể đến sự khác nhau về việc sử dụng các không gian hàm, về các điều
kiện trên dữ liệu hay trên các hệ số. Trong luận án này chúng tôi tập trung khảo
sát vấn đề chỉnh hóa (tức là vấn đề d) cho một số bài toán loại 1, 2, 3. Tuy
nhiên, chúng tôi không khảo sát vấn đề tính toán bằng số nghiệm chỉnh hóa.
Trong một số trường hợp, các ví dụ số đưa ra nhằm mục đích minh họa cho các
phương pháp.
Thứ tự trình bày của các bài toán được sắp xếp thành hai nhóm: tuyến tính
(các chương 1, 2, 3) và phi tuyến (các chương 4, 5, 6, 7). Cụ thể luận án sẽ khảo
sát sự chỉnh hóa nghiệm của các bài toán nằm trong bốn dạng đã liệt kê như sau
1. Bài toán nhiệt ngược thời gian
– tuyến tính hai chiều không gian với các dữ kiện nhiệt độ cuối là rời rạc
(chương 1)
– phi tuyến một chiều không gian trên một tập hợp bị chận (chương 6)
– phi tuyến một chiều không gian trên toàn bộ trục số thực (chương 7),
2. Bài toán xác định nhiệt độ biên
– tuyến tính của mô hình chất dẫn nhiệt một chiều có hai lớp từ dữ kiện
nhiệt độ đo tại ba vị trí bên trong của vật (chương 3),
– phi tuyến hai chiều không gian xác định nhiệt độ bề mặt khi biết nhiệt độ
tại một vị trí bên trong (chương 5),
3. Bài toán hai chiều không gian xác định nguồn nhiệt dạng tách biến
không gian và thời gian (t)f (x)ϕ trong đó hàm phụ thuộc biến thời gian (t)ϕ
được cho dưới dạng dữ liệu nhiễu không chính xác (chương 4).
Lời nói đầu 4
Bài toán nhiệt ngược thời gian được khảo sát qua rất nhiều công trình, cho
đến gần đây, bài toán trên không gian Banach trừu tượng vẫn còn được công bố
(xem [49]). Bắt đầu từ công trình tiên phong của Fritz John [54] vào thập niên
50, các bài toán nhiệt ngược thời gian tuyến tính đã được khảo sát rất nhiều bằng
các phương pháp nửa nhóm qua các công trình của Krein [56], phương pháp
quasi-reversibility của Lattès-Lions [58], Miller [66], phương pháp pseudo-
parabolic của Gajewski and Zacharias [34], phương pháp chỉnh hóa hyperbolic
[5]. Tuy nhiên, bài toán khôi phục phân bố nhiệt độ ban đầu từ các dữ liệu nhiệt
độ cuối rời rạc chúng tôi chỉ mới tìm thấy trong [13] và bài báo [70] (là nội dung
chính của Chương 1 của luận án). Bên cạnh đó, bài toán nhiệt ngược thời gian
với nguồn nhiệt phi tuyến cũng chỉ mới được nhóm chúng tôi khảo sát gần đây
trong các bài báo [69, 73] đã công bố (nội dung chính của chương 6 và 7) và
trong công trình [80] (gửi đăng ở tạp chí ZAA). Trong khuôn khổ các tài liệu tìm
được, chúng tôi chưa tìm được các công trình khác về bài toán phi tuyến này.
Bài toán xác định nhiệt độ bề mặt từ các dữ liệu đo bên trong (borehole
measurements) là bài toán đã được khảo sát rất nhiều trong trường hợp vật thể
dẫn nhiệt chỉ có một lớp (one layer). Bài toán này đã được phát biểu trong [1,
16, 19, ]. Trường hợp biến không gian x thuộc về nửa trục thực bài toán (với hệ
số hằng) đã được khảo sát bởi Carasso [22], Talenti và Vessella [76]. Đinh Nho
Hào,H.J. Reinhardt và A. Schneider [45, 46, ] sử dụng phương pháp
mollification đã khảo sát bài toán trong trường hợp hệ số phụ thuộc vào biến x
(với giả thiết trụ cột là nhiệt độ ban đầu triệt tiêu) và cho các đánh giá ổn định
loại Holder. Gần đây, Chu-Li Fu [33] cũng sử dụng phương pháp chỉnh hóa
Fourier (chặt cụt các tần số cao) để khảo sát bài toán. Tuy nhiên bài toán
sideways cho trường hợp vật thể có nhiều lớp (multi-layer) vẫn chưa được khảo
Lời nói đầu 5
sát nhiều mặc dù đã được đề cập rất rõ ràng trong cuốn sách kinh điển của [16].
Có lẽ một trong những lý do là quan điểm cho rằng bài toán đó đã được giải
quyết về mặt nguyên tắc vì có thể phân thành nhiều bài toán một lớp và ta có
thể lần lượt giải theo từng lớp từ trong ra ngoài. Tuy nhiên, phương pháp này có
các tính toán nhiều và khó rút ra các đánh giá về sai số. Chúng tôi đã khảo sát
bài toán trên quan điểm tính toán đồng thời phân bố nhiệt độ trong tất cả các lớp
như là hệ thống của các phương trình tích chập, nhờ đó có thể tính trực tiếp nhiệt
độ bề mặt mà không phải tính theo lối quy nạp. Trong Chương 3, các kết quả
cho một vật thể dẫn nhiệt hai lớp đã được trình bày như một minh họa cho ý
tưởng của phương pháp. Các kết quả này đã được công bố trong bài [71] trên tạp
chí Applicable Analysis.
Trường hợp xác định nhiệt độ bề mặt của vật thể thỏa phương trình elliptic
phi tuyến được khảo sát trong chương 5. Cũng như các bài toán phi tuyến nhiệt
ngược thời gian, chúng tôi cũng chưa tìm ra được các công trình khảo sát bài
toán phi tuyến tương tự. Bài toán đặt ra ở đây là xác định phân bố nhiệt độ trên
biên (trục Ox) từ nhiệt độ đo ở những điểm có phương trình y=1 của nửa mặt
phẳng trên. Việc khảo sát này sử dụng ý tưởng thông dụng được nói tới trong
[16, 46, …]: khảo sát bài toán trong phần mặt phẳng y>1 (bài toán chỉnh) rồi lấy
kết quả làm dữ liệu để khảo sát trong dải 0<y<1 (bài toán không chỉnh). Các kết
quả này chỉ là các kết quả bước đầu cho việc nghiên cứu bài toán phi tuyến này.
Nội dung của bài toán được trình bày trong bài báo [72] đã công bố trên tạp chí
Vietnam Journal of Mathematics và là nội dung của Chương 5.
Trong các bài toán xác định về hệ số, luận án chỉ khảo sát bài toán tìm
nguồn nhiệt. Đây là một loại bài toán phi tuyến (xem [51, trang 222]). Một số
Lời nói đầu 6
dạng đặc biệt của nguồn nhiệt F thường được xem xét. Trong [64], dạng
0 1 2 2F(x, t) g (x, t) f (x)g(t) f (t)g (x)= + +
được khảo sát. Các tác giả Isakov [51], D. N. Hao [42] khảo sát dạng nguồn
nhiệt
F(x, t) (x, t)f (x)= ϕ
với f(x) là ẩn hàm và (x, t)ϕ là hàm trọng lượng (weight function) đã cho chính
xác. Cannon-Esteva, Đinh Nho Hào, Saitoh-Vũ Kim Tuấn-Yamamoto,
Yamamoto [20, 21, 40, 75, 82] đã khảo sát dạng tách biến
F(x, t) (x)f (t)= ϕ
trong đó một trong hai hàm là ẩn hàm. Hàm u uϕ≡ và F Fϕ≡ là hàm phụ thuộc
phi tuyến vào ϕ . Nếu hàm ϕ đã biết chính xác (exactly given function) thì bài
toán trở thành tuyến tính. Để giải được bài toán này một số điều kiện được bổ
sung thêm (overdetermination conditions). Trường hợp bổ sung thêm giá trị nhiệt
độ đo ở phần trong của vật thể, bài toán khảo sát sự ổn định của nguồn nhiệt
được trình bày trong [20, 21, 75, 82]. Bài toán tồn tại và duy nhất cho bài toán
hệ số trên miền không gian là đoạn (0,1) đã được khảo sát trong [40] sử dụng
điều kiện Cauchy ở một phần của biên.
Trong luận án này, chúng tôi xét bài toán xác định nguồn nhiệt có dạng
hai chiều không gian có dạng (t)f (x, y)ϕ với (t)ϕ là hàm cho biết không chính
xác (inexactly given function) và điều kiện bổ sung của chúng tôi cũng là điều
kiện cuối (final overdetermination) như trong [51]. Công trình của chúng tôi
khác các kết quả được phát biểu bởi Isakov ở những điểm sau:
Thứ nhất, bài toán trong [50, 51] được khảo sát ở khía cạnh ổn định và duy
nhất, còn công trình của chúng tôi khảo sát việc chỉnh hóa bài toán. Như chúng
tôi đã phân tích ở phần đầu, đó là hai bài toán khác nhau.
Lời nói đầu 7
Thứ hai, trong [51], hàm (x, t)ϕ xem như biết chính xác, do đó, như đã lưu
ý, kết quả phát biểu trong [51] (Định lý 9.1.1, trang 222) được sử dụng cho bài
toán tuyến tính. Trong khi đó, trong bài toán chúng tôi nghiên cứu, hàm (t)ϕ
được xem là dữ kiện biết không chính xác, chỉ biết hàm xấp xỉ (t)εϕ của (t)ϕ ,
do đó bài toán tìm (u,F) (u ,F )ϕ ϕ≡ là phi tuyến.
Thứ ba, dạng nguồn nhiệt chúng tôi khảo sát có vẻ đơn giản hơn dạng khảo
sát trong [51]. Tuy nhiên đi kèm với dạng nguồn nhiệt là các điều kiện trên đó.
Với đặc điểm phức tạp của loại toán này, với các điều kiện khác nhau, phương
pháp giải quyết có thể khác nhau hoàn toàn. Do đó dạng tổng quát của nguồn
nhiệt như trong [51] nếu chưa xét đến các điều kiện thì chưa thể so sánh thỏa
đáng được. Thực tế, Isakov đã chứng minh được rằng nếu có điều kiện
(9.1.1) t0 ,0≤ ϕ ≤ ϕ trên Q và 0ϕ > ε > trên (T)Ω×
thì bài toán ổn định nghiệm trong không gian các hàm có đạo hàm liên tục với
cấp thích hợp. Vậy với điều kiện này, bài toán trở thành chỉnh trong (2 )C +λ ([51]
không xét bài toán trên trong không gian các hàm khả tích 2L với điều kiện đầu
và cuối cũng thuộc 2L ). Tuy nhiên, nếu điều kiện (9.1.1) nói trên không thỏa thì
như chúng tôi đã trích dẫn, bài toán có thể không duy nhất nghiệm (xem [51],
trang 222), nghĩa là bài toán trở thành không chỉnh. Trong công trình [79], các
điều kiện trên hàm ϕ được giảm nhẹ rất nhiều (xem Chương 4 của luận án) và
do đó nằm ngoài phạm vi của các kết quả trình bày trong [50, 51].
Thứ tư, để thực hiện chỉnh hóa một cách tường minh, chúng tôi sử dụng các
điều kiện dạng Dirichlet trên một phần biên do các ý nghĩa vật lý của bài toán.
Việc chỉnh hóa mà không sử dụng thêm các điều kiện Dirichlet đang được
nghiên cứu tiếp tục, chúng tôi hy vọng rằng sẽ có tiến triển trong tương lai gần.
Lời nói đầu 8
Các kết quả của chúng tôi đã được công bố trong bài báo [79] và là nội dung của
chương 4.
Cuối cùng, chúng tôi xin thảo luận về các phương pháp chỉnh hóa được sử
dụng trong luận án này đồng thời cũng thảo luận về nội dung của Chương 2 của
luận án. Để tiện lợi trong các thảo luận về sau, chúng tôi nêu lên định nghĩa của
sự chỉnh hóa. Vì trong luận án có sự chỉnh hoá các bài toán phi tuyến nên chúng
tôi định nghĩa lấy ý tưởng trong [78, trang 43]
Xét phương trình
Au f , u D(A) X,f Y= ∈ ⊂ ∈
trong đó X và Y là các không gian mêtric với mêtric d và ρ , A là toán tử
từ X vào Y. Giả sử exu (gọi là nghiệm chính xác, exact solution) và exf
(gọi là dữ liệu chính xác, exact data) thỏa ex exAu f= . Toán tử Rα (f) (phụ
thuộc vào tham số α và có thể không tuyến tính) gọi là toán tử chỉnh
hóa cho phương trình Au=f trong một lân cận mở W của exf nếu
A. tồn tại một số 1 0δ > sao cho Rα xác định với mọi 0α > và với
mọi f W∈ trên sao cho ex 1(f , f )ρ ≤ δ ≤ δ
B. với mọi 1(0, )ε∈ δ ta tìm được ( )α ε và ( )ω ε thỏa
( ) 0α ε → khi 0ε →
( ) 0ω ε → khi 0ε →
và nếu ex(f , f )ερ ≤ ε
thì
exd(u ,u ) ( )ε ≤ ω ε
với ( )u R (f )ε α ε ε= .
Lời nói đầu 9
Trường hợp tham số α là số tự nhiên thì trong định nghĩa trên ta
thay điều kiện tiến về 0 của ( )α ε bởi điều kiện ( )α ε →∞ khi 0ε → .
Số α gọi là tham số chỉnh hóa. Hàm uε gọi là nghiệm chỉnh hoá
của bài toán, Dữ liệu fε gọi là dữ liệu không chính xác (inexact data).
Thông thường dữ liệu do đo đạc (measured data) hay dữ liệu được cho
(given data) của bài toán không phải là fε . Hàm fε là kết quả phối hợp
của các dữ liệu được cho thông qua nhiều phép toán khác nhau nên chỉ có
thể gọi là dữ liệu có được do tính toán (calculated data) từ các dữ liệu
được cho hay gọi là các dữ liệu thứ cấp (tạm gọi là processed data). Sai số
so với dữ liệu chính xác thường được ngầm định cho dữ liệu được cho và
có thể gọi là sai số ban đầu. Sai số trên các dữ liệu thứ cấp phải được
đánh giá từ sai số ban đầu trên dữ liệu được cho.
Như vậy qua định nghĩa của nghiệm chỉnh hóa ta thấy có hai bài toán riêng.
Thứ nhất là tìm toán tử chỉnh hóa Rα . Thứ hai là tìm một phương pháp chọn
tham số chỉnh hóa ( )α ε . Nhiều công trình về chỉnh hóa chỉ giải quyết vấn đề thứ
nhất, còn vấn đề thứ hai được phát biểu dưới dạng “tồn tại”. Như đã được phân
tích trong [1], các phương pháp giải có thể được chia thành hai loại: phương pháp
phổ quát (universal) và phương pháp được định hướng vào bài toán (problem-
oriented) hay còn gọi là phương pháp trực tiếp (direct methods). Chẳng hạn
phương pháp chỉnh hóa Tikhonov là một phương pháp phổ quát có thể áp dụng
cho các lớp bài toán rất rộng. Trong phương pháp trực tiếp, ta xem xét các yêu
cầu cụ thể trên các dữ liệu và do đó, phạm vi áp dụng của nó hẹp hơn. Bù lại,
các phương pháp chỉnh hóa trực tiếp đơn giản hơn và có thể mang lại sự xấp xỉ
tốt trong từng trường hợp. Khi sử dụng phương pháp phổ quát như chỉnh hóa
Tikhonov, chúng tôi thường gặp khó khăn khi phải chọn tham số chỉnh hóa ( )α ε
Lời nói đầu 10
nếu không sử dụng một vài điều kiện (rất khó kiểm tra) chẳng hạn như
*f Range A∈ (xem [38]). Theo chúng tôi

[block id=”bo-sung”]

Từ khóa: Luận văn Bài toán ngược trong lý thuyết nhiệt

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *